Ti–6Al–4V合金具有密度低、比强度和刚度高、抗蠕变和疲劳强度高、耐蚀性好、断裂韧性较高和生物相容性优异等特点，被广泛应用于航空航天、汽车、船舶和生物医学等领域^[1–2]。传统钛合金加工工艺能耗大、加工成形难度大、机加工装备昂贵且加工效率低，大大限制了钛合金的应用^[3]。在此情况下，原料利用率高、生产周期短、易于批量生产、生产成本低的钛合金粉末冶金制备技术逐渐受到人们的青睐^[4]。

随着对钛合金粉末冶金研究的深入，人们开始对钛合金粉末冶金中的压制过程进行数值模拟。本构模型的确定对Ti–6Al–4V粉末压制成形数值模拟准确与否至关重要。目前，金属粉末成形的建模方法主要有烧结多孔金属塑性力学法、微观力学法和广义塑性力学法等^[5]。基于烧结多孔金属塑性模型的模拟与金属粉末压制初期的特征差别较大，只适合个别的压制情况^[6]；微观力学模型假设粉末颗粒为球形与实际情况不符，且颗粒间的作用力类型不确定，目前只适合粉末堆积和压制初始阶段的模拟，理论仍有待完善^[7]。修正Drucker–Prager Cap模型在广义塑性力学模型的基础上不断发展完善，为描述金属粉末压制成形提供了更为有效的解决方法^[8]。

1952年，Drucker和Prager在Mohr–Coulomb屈服准则的基础上提出了Drucker–Prager屈服准则；1957年，Drucker等在Drucker–Prager圆锥面的基础上加上一个椭圆帽，得到Drucker–Prager Cap（DPC）模型^[9]。Sinka等^[10]采用DPC模型分析了微晶纤维素粉末在压制凹形圆片过程中，粉末与冲模之间的摩擦对片剂相对密度的影响，对比模拟与实测的相对密度分布图，验证了该模型。Reiterer等^[11]采用DPC模型模拟了SiC粉末冷等静压压制过程。Zhang等^[12]采用DPC模型分析了铁锰合金粉末的立方体压坯压制过程，通过对比模拟与实测的密度分布及密度随压制力变化的关系，验证了该模型。胡建召等^[13]将DPC模型引入到了高硬度W–Cu20粉末轧制有限元分析中，模拟结果中的板料相对密度和板料厚度与实际实验结果吻合较好，最大误差仅为4.47%；Zhou等^[14]通过实验建立了Ag57.6–Cu22.4– Sn10–In10混合金属粉末压制的修正DPC模型，并通过实验验证了该模型。以上研究表明，修正DPC模型能够很好的用于粉末压制成形的数值模拟，虽然模型参数众多、构建麻烦，但通过适当的规范和设计，完全可以得到高模拟精度的模型，这也是近年来国内外研究者较为集中地研究此类模型的原因^[15]。

本文采用修正DPC模型对Ti–6Al–4V粉末压制致密化过程进行建模，研究其压制成形规律，并利用ABAQUS有限元仿真软件对该模型进行了模拟验证。综合考虑压制过程中实验装置变形对实验数据的影响，通过空压校正实验控制实验误差，建立了更加准确的修正DPC模型。

1.   实验材料及方法

1.1   实验材料

实验所用Ti–6Al–4V粉末由北京兴荣源科技有限公司生产，粉末规格为400目，理论密度为4.5 g·cm^-3，化学成分如表 1所示。

表  1  Ti–6Al–4V粉末化学成分表（质量分数）

Table  1.  Chemical composition of Ti–6Al–4V powders  %

Al	V	Fe	C	N	H	O	Ti
6.00	3.90	0.05	0.02	0.180	0.039	0.20	余量

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1.2   实验方法

1.2.1   单轴压缩实验

制作单轴压缩实验样品时，阴模内径为10 mm，压坯高径比约为1.5，称取的Ti–6Al–4V粉末质量为2.65 g。采用硬脂酸锌乙醇溶液进行模壁润滑，然后在REGER–100万能材料测试机上压制一系列密度不同的压坯，得到用于单轴压缩实验的样品。对压坯进行密度测算后，在该测试机上进行单轴压缩实验，如图 1（a）所示，实验中压坯须剪切破坏。

图  1  压坯压缩强度测量实验：（a）单轴压缩实验；（b）巴西圆盘实验

Figure  1.  Compression strength tests of the powder compacts: (a) uniaxial compression test; (b) diametrical compression test

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1.2.2   巴西圆盘实验

制作巴西圆盘实验样品时，阴模内径为16 mm，压坯厚径比≤0.25，称取的Ti–6Al–4V粉末质量为1.81 g。采用硬脂酸锌乙醇溶液进行模壁润滑，然后在REGER–100万能材料测试机上压制一系列密度不同的压坯，得到用于巴西圆盘实验的样品。对压坯进行密度测算后，在该测试机上进行巴西圆盘实验，如图 1（b）所示，实验中压坯须沿径向破裂。

1.2.3   模压实验

模压实验中，阴模内径为10 mm，在阴模外壁上贴有4个应变片，测量阴模外壁的周向应变，进而测得模压实验过程中模具内壁径向压力的变化规律。在阴模下部放置有SFLF轮辐压力传感器，用于测量下模冲力，如图 2所示。称取多份质量为1.71 g的Ti–6Al–4V粉末，采用硬脂酸锌乙醇溶液进行模壁润滑，然后在WAW–600型微机控制电液伺服万能试验机上进行模压实验，加载和卸载的压制速度均为2 mm·min^–1。为排除压制过程中上模冲、下模冲、压力传感器等变形导致的误差，在不加Ti–6Al–4V粉末及不同压制力的情况下，对模压实验装置进行了空压校正实验。同时，为了测量模壁摩擦系数，还需要在没有模壁润滑的情况下进行模压实验。

图  2  模压实验示意图

Figure  2.  Schematic diagram of die compaction apparatus

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2.   构建修正Drucker–Prager Cap（DPC）模型

2.1   修正DPC模型

如图 3所示，修正DPC模型屈服面由三部分组成：线性剪切破坏面（F_s），控制材料在剪切作用下的流动；帽子曲面（F_c），引入压缩导致的屈服，同时也能控制材料在剪切作用下的无限制剪胀；过渡曲面（F_t），光滑地连接剪切破坏面和帽子面，有利于数值计算^[16]。

图  3  修正DPC模型及模压实验加载路径

Figure  3.  Modified DPC model and the loading path of die compaction test

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剪切破坏面（F_s）是由内聚力（d）和摩擦角（β）确定的直线，其表达如式（1）所示。

式中：p和q分别代表静水应力和Mises等效应力。

帽子面的表达如式（2）所示。

式中：R为偏心距，控制着帽子面的几何形状；α为过渡面曲率系数，取值范围0.01~0.05，决定着过渡区的形状；p_a为演化参数，是帽子曲面与过渡曲面交点对应的p值，与压缩屈服平均应力（p_b）的关系可表示为式（3）。

光滑过渡面的表达如式（4）所示。

除了屈服曲线之外，相关的塑性流动法则也定义在帽子面上，非关联的塑性流动法则用于光滑过渡面和剪切破坏面。帽子面上相关的塑性流动规则定义如式（5）所示，剪切破坏和过渡区域的非相关塑性流动规则表达如式（6）所示。

式中：G_c表示帽子曲面上的塑性势面函数，G_s表示剪切破坏面与光滑过渡面上的塑性势面函数，G_c和G_s一起构成了连续光滑的势能面。

在修正DPC模型中，除α以外，其余参数（β、d、p_a、p_b、R）都是与相对密度相关的函数，他们一起确定了修正DPC模型。此外，弹性模量（E）、泊松比（υ）和摩擦系数（μ）也是压制过程中的重要参量。

2.2   模型参数的确定

2.2.1   剪切破坏面参数的确定（β、d）

在修正DPC模型中，通常用图 4所示四种实验中的两种来确定剪切破坏面，这四种实验分别是：单轴拉伸实验、剪切实验、巴西圆盘实验和单轴压缩实验。本文采用单轴压缩实验和巴西圆盘实验来确定剪切破坏面。

图  4  剪切破坏面确定实验：（1）单轴拉伸实验；（2）剪切实验；（3）巴西圆盘实验；（4）单轴压缩实验

Figure  4.  Determination of shear failure surface: (1) uniaxial tension test; (2) pure shear test; (3) diametrical compression test; (4) uniaxial compression test

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单轴压缩实验可获得Ti–6Al–4V粉末压制压坯在不同相对密度下的轴向压缩强度，在进行单轴压缩实验时，压坯的轴向压缩强度（σ_c）由最大压制破坏力决定，如式（7）所示。

式中：F_c为最大轴向压制破坏力，D为压坯的直径，对于单轴压缩实验p = -1/3σ_c，q = -σ_c。

巴西圆盘实验可获得Ti–6Al–4V粉末压制压坯在不同相对密度下的径向压缩强度，在进行巴西圆盘实验时，压坯的径向压缩强度（σ_t）由最大压制破坏力决定，如式（8）所示。

式中：F_t为最大径向压制破坏力，t为压坯厚度，对于巴西圆盘实验p = 2/3σ_t，q = $\sqrt {13} $σ_t。由式（1）、（7）和（8）可确定剪切破坏面参数β和d，如式（9）和式（10）所示。

2.2.2   帽子面参数的确定（p_a、p_b、R和α）

通过模压实验可确定p_a、p_b、R和α四个帽子面参数。阴模外壁上贴有4个应变片用于测量周向应变，上模冲压力（F_T）由万能试验机内部力传感器测定，下模冲所受的力（F_B）由自行安装的压力传感器测定^[17]。上模冲和下模冲所受的应力可表示为式（11）和式（12）。

式中：σ_T和σ_B分别代表上模冲和下模冲所受应力，A为圆柱形压坯的横截面积（A = πD²/4，D为圆柱形压坯直径），p = 1/3(σ_z + 2σ_r)，q = |σ_z - σ_r|，其中σ_z和σ_r分别为距压坯下表面Z的压坯粉层受到的轴向应力与径向应力。

通过不同相对密度下的模压实验可以确定帽子面参数，在模压实验过程中，偏心距（R）和演化参数（p_a）可通过载荷最大时p–q坐标系下所对应的点B（p₀，q₀）计算得到，如式（13）和式（14）所示。过渡面曲率系数（α）取值范围为0.01~0.05，本文中取为0.02。压缩屈服平均应力（p_b）可通过式（3）和式（14）确定。

2.2.3   弹性参数的确定（E，υ）

修正DPC模型假定粉末在压制时为各向同性，因此仅需要确定弹性模量（E）和泊松比（υ）两个弹性参数。在弹性范围内，材料的弹性形变应当与加载路径无关，其关系式如式（15）和式（16）^[18]所示。

式中：dσ_z、dσ_r和dε_z分别为卸载过程中轴向应力增量、径向应力增量和轴向应变增量。

2.2.4   摩擦系数的确定（μ）

模压实验中，粉末与模具之间的摩擦会对粉末流动产生一定影响，根据Janssen–Walker理论可以确定修正DPC模型中的摩擦系数，如式（17）^[19]所示。

式中：D为模具内部直径，H为粉体的压制高度，Z为压坯粉层到下模冲上表面的距离，σ_r为距离底部Z处的径向应力。

3.   实验结果与分析

由单轴压缩实验和巴西圆盘实验得到单轴压缩强度、径向压缩强度与相对密度的关系，如图 5所示。由图可见，单轴压缩强度和径向压缩强度随相对密度的增加均近似呈指数型增长变化。

图  5  压坯压缩强度与相对密度关系：（a）单轴压缩强度；（b）径向压缩强度

Figure  5.  Compression strength change with relative density of powder compacts: (a) axial compression strength; (b) radial tensile strength

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校正实验中整个模压装置的载荷–位移曲线如图 6（a）所示，由图可知，模压装置在上模冲压力的作用下会发生较大的变形，在不同压制力（5、10、20、30、40、50、60、70 kN）下获得的8条曲线几乎重叠，可以采用分段函数对空压下位移–载荷关系进行拟合。在模压实验中，粉末的真实位移需减去模压实验装置的位移，模压实验中原始实验数据与校正实验数据的力–位移曲线如图 6（b）所示。

图  6  空压校正实验：（a）整个模压装置的力–位移曲线；（b）模压实验原始数据与修正数据的力–位移曲线

Figure  6.  Die compaction tests without powders: (a) force–displacement response of the whole testing system; (b) force–displacement curves with the raw and corrected data for powder compact

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经过单轴压缩实验、巴西圆盘实验和模压实验，将实验数据利用公式进行计算，可得到Ti–6Al–4V粉末压制的修正DPC模型方程参数、弹性参数与相对密度的关系，也可得到摩擦系数随上模冲力变化的关系，如图 7所示。由图可见，Ti–6Al–4V粉末压制的修正DPC模型参数及弹性参数中，内聚力（d）、演化参数（p_a）、静态屈服应力（p_b）、弹性模量（E）和泊松比（$\upsilon $）随相对密度的增加近似呈指数型增长变化；摩擦角（β）随相对密度的增加近似呈线性减小趋势；偏心距（R）随相对密度的增加近似呈线性增加趋势；摩擦系数（μ）随上模冲压力的增大先减小，然后逐渐稳定于0.163。

图  7  修正DPC模型参数、弹性参数与相对密度的关系以及摩擦系数与上模冲压力的关系：（a）内聚力，d；（b）摩擦角，β；（c）演化参数，p_a；（d）静态屈服应力，p_b；（e）偏心距，R；（f）弹性模量，E；（g）泊松比，υ；（h）摩擦系数，μ

Figure  7.  Relationship of modified DPC model parameters, elastic properties, and relative density and the variation of friction coefficient with top punch pressure: (a) cohesion, d; (b) friction angle, β; (c) evolution parameter, p_a; (d) hydrostatic yield stress, p_b; (e) cap excentricity, R; (f) Young's modulus, E; (g) Poisson's ratio, υ; (h) friction coefficient, μ

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4.   有限元模拟验证

4.1   建模与模拟

将实验建立的修正DPC模型用于Ti–6Al–4V粉末压制成形的数值模拟，并将模拟得到的上模冲力随位移变化的关系与模压实验数据进行对比，从而验证该模型。基于用户子程序USDFLD，通过可提供二次开发平台的有限元软件ABAQUS建模，将金属粉末材料的相对密度定义为场变量，用于不断更新每个增量步中当前材料的属性。由于模型的对称性，仅需取整个模型的四分之一进行分析，三维有限元模型如图 8所示，其中阴模、上模冲和下模冲的材料为60Si2M钢，其弹性模量（E）为206 GPa，泊松比（υ）为0.3，屈服强度（σ_y）为1180 MPa；压坯设置为变形体，采用8节点六面体单元，最小网格单元为0.5 mm，压坯直径为10 mm，初始相对密度为0.392，粉末填充高度为12.349 mm；按照压坯平均相对密度为0.732的模压实验条件，将上模冲压制位移设为6.393 mm，摩擦系数（μ）为0.163，压制速度为2 mm·min^–1。

图  8  有限元模型及模拟实验：（a）组装模型；（b）划分网格模型；（c）加载完毕模型；（d）卸载完毕模型

Figure  8.  Finite element model and simulation experiment: (a) assembled model; (b) model with meshes; (c) model after loading; (d) model after unloading

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4.2   结果与分析

模拟得到的加载完毕和卸载完毕后的相对密度分布如图 9所示。如图可见，压坯与上模冲和模壁接触的交界部分相对密度最高，压坯与下模冲和模壁接触的交界部分相对密度最低，这是由于粉末与模具之间存在摩擦；卸载后，压坯各部分的相对密度比加载完毕时都有所减小，这是由于卸载时压坯有回弹，卸载后压坯平均相对密度为0.725，与模压实验中卸载后的平均相对密度（0.732）基本一致。

图  9  生坯相对密度分布云图：（a）加载完毕；（b）卸载完毕

Figure  9.  Relative density distribution of green: (a) after loading; (b) after unloading

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模拟得到的上模冲压力随压制位移变化的关系与模压实验的对比如图 10所示。实验与模拟得到的上模冲压力随位移变化的关系在加载与卸载过程中均具有很好的吻合性。可见，通过单轴压缩实验、巴西圆盘实验和模压实验建立的Ti–6Al–4V粉末压制的修正DPC模型能够很好的描述该粉末的压制过程。

图  10  模拟与实验结果比较

Figure  10.  Comparison between the simulation and experimental results

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本文通过单轴压缩实验、巴西圆盘实验和冷模压实验建立的Ti–6Al–4V粉末压制的修正DPC模型，没有考虑温度对压坯密度的影响，仅适用于Ti–6Al–4V粉末冷模压及冷等静压的压制分析。由于Ti–6Al–4V粉末硬度较高，为提高制品密度，有时需采用热压或热等静压工艺，此时，需要在本文研究基础上，建立考虑温度影响的修正DPC模型，方能准确分析其压制成形过程。

5.   结论

（1）在压制过程中，上模冲、下模冲和阴模等会产生变形，对实验数据会产生一定的影响，进行空压校正实验，可减小实验误差并使建立的修正DPC模型更准确。

（2）当上模冲压力小于50 MPa时，随上模冲压力的增加，模壁摩擦系数逐渐减小；当上模冲压力大于50 MPa时，随上模冲压力的增加，模壁摩擦系数基本趋于稳定。

（3）基于修正DPC模型的ABAQUS模拟压制结果与模压实验结果有很高的契合度，表明修正DPC模型能有效分析Ti–6Al–4V粉末冷态压制成形过程。