随着粉末冶金技术^[1]的不断发展，人们对粉末产品的需求增加，冶金制品也不断多样化。金属粉末制品最主要的一项指标就是相对密度，形状不同的压坯在高速压制下的致密化过程差异显着，导致粉末产品相对密度及致密均匀性发生改变，进而影响产品质量。考虑到粉末制品零件多含有锥角结构，锥角角度会影响压坯密度，故需进一步探究锥角角度与相对密度的关系。

近年来，已有学者运用离散元和有限元方法对不同粉末压制过程及其对相对密度的影响进行了探究。Ransing等^[2]和PM Modnet Modelling Group^[3]建立了粉末压实过程的离散元模型，通过将实验研究和数值模拟结果进行对比，证明了离散元法能模拟延性材料以及脆性材料的压实过程。林立^[4]用离散元软件PFC进行三维颗粒的压制模拟，研究了金属粉末的粒径分布对铁粉致密化的影响。张璐栋等^[5]采用三维离散单元法对高速压制条件下铝粉颗粒的动态响应进行模拟，分析了不同阶段颗粒的运动和扰动情况。张超等^[6]基于离散元原理，采用三维离散元软件PFC3D模拟冲头加载过程，探究了不同冲头速度下的透射波以及对侧壁压力分布的影响。Matuttis等^[7]模拟了等静态压制下颗粒形状及颗粒间表面粗糙度对压坯整体相对密度的影响。Coube和Riedel^[8]采用有限元模拟的形式，分析得出了粉末压坯在压制过程中的密度分布和成品裂纹的分布趋势。Kim和Lee^[9]以及Wikman等^[10]研究了粉末成形过程中的摩擦行为，发现摩擦系数的不同会造成压坯密度及其均匀性发生改变，而颗粒与模具间的摩擦系数是影响相对密度的主要因素。刘运展等^[11]分析了Ag‒Cu钎料粉末压制的成形机理和速度场特性，研究了压制速度和摩擦系数对压坯相对密度的影响。于世伟等^[12]研究发现，密度分布不均区域主要在圆柱压坯上下端的边缘区域，密度之间的差距会随压制过程的进行增大，且差异逐渐明显，边壁摩擦因数是密度均匀性最主要的影响因素。

有学者对异形零件成型进行了探究。马志伟^[13]以台阶零件为研究对象，探究了在不同压制力和压制速度下台阶零件的密度分布状况，发现不同摩擦系数造成的颗粒间流动差异是影响密度分布的主要因素。张鑫龙等^[14]对椭圆截面管件充液压制成形过程进行了应力分析与试验研究，将充液压制与传统压制进行对比，分析充液压力和下压量对管件截面应力、壁厚及尺寸的影响。高硕^[15]研究了不同压制方式下同步器锥环的密度分布、模具行程下和脱模过程中载荷变化情况。陈玉珍等^[16]在锥形零件电磁成形有限元模拟中，对给定的锥角进行研究，当坯料直径较大时，压坯纬向变形量相对较大，随变形区域毛坯面积的增大，压坯整体的抗失稳能力会降低，起皱的趋势明显。李达等^[17]研究了铝粉烧结锥形件，通过采用DEFORM软件对薄壁锥形件的压扭成形进行了三维有限元分析，在成形过程中得到了锥形零件相对密度、等效应变、速度场的分布情况。目前，尚无人对实心锥角结构的相对密度进行研究。

本文对普通实心锥形零件（圆台锥角结构）的锥角与相对密度之间的关系进行研究，讨论了锥角等因素对零件相对密度分布规律的影响。在轴向方向上，将圆锥侧表面与圆锥底面之间的夹角定义为圆锥锥角（θ），取值范围为（0，π/2），如图1所示。

图  1  锥角定义示意图

Figure  1.  Definition of the taper angle

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1.   锥形零件模型的建立与分析

1.1   锥形件模型的建立

对于实际工程问题的数值计算，选用简化模型中的软球模型^[18]，如图2所示。对软球模型颗粒间接触力进行简化处理，把法向力简化为弹簧和阻尼器，切向力化为弹簧、阻尼器和滑动器，并引入参量弹性系数和阻尼系数等，其简化模型如图3。为深入探究锥形零件的相对密度分布，在规则圆柱模型的基础上修改模型，借助离散元软件PFC3D，建立总高6 mm，圆柱半径6 mm，底部圆锥与上部圆柱部分的高分别为3 mm的三维模型，选取120目（0.12 mm）铝粉为模拟对象，随机生成孔隙率为0.5的堆积模型，如图4所示。

图  2  考虑两颗粒法向重叠量和切向位移且不考虑颗粒表面变形的软球模型

Figure  2.  Soft ball model considering without particle surface deformation and with normal overlap and tangential displacement

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图  3  软球模型接触力简化处理：（a）法向力；（b）切向力

Figure  3.  Simplified treatment of the particle contact force by soft sphere model: (a) normal force; (b) tangential force

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图  4  圆锥模型（a）以及圆锥部分相对密度（b）测量示意图

Figure  4.  Schematic diagram of the taper model (a) and the measurement of the relative density (b)

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考虑实际压制情况，保证模型理论相对密度为85%，在提高精确度的同时考虑模拟效率，使用20 m·s⁻¹的速度进行压制，取颗粒间摩擦系数为0.3，模壁摩擦为0.1，其杨氏模量与阻尼系数分别设为71.7 GPa与0.6，在此材料基础上，测算其不同锥角下的相对密度，具体锥角模型尺寸如表1所示。

表  1  锥形模型尺寸

Table  1.  Dimensions of the taper model

锥角角度 / (°)	底模总高度 / mm	底模锥角部分高度 / mm	底模上端面直径 / mm	底模下端面直径 / mm
30	6	3	12	1.61
35	6	3	12	3.43
40	6	3	12	4.85
45	6	3	12	6.00
50	6	3	12	6.96
55	6	3	12	7.80
60	6	3	12	8.54
65	6	3	12	9.20
70	6	3	12	9.82

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借助离散元软件PFC中的Measure（测量球）工具对相对密度进行测量。测量区域内部颗粒间孔隙率，将孔隙率（n）定义为测量区域总空隙体积（V^void）与测量区域体积（V^reg）的比率，如式（1）所示。

式中：V^mat是测量区域内的材料体积，可近似定义为式（2）。

式中：N_b是完全位于测量区域内的物体b数量，V^(b)是物体b的体积，${\overline N _b}$是与测量区域相交的物体b数量，${\overline V ^{(b)}}$是物体b和测量区域之间的交叉部分体积，N_c是位于测量区域中的接触数量，V^(c)是接触于c处的两个物体之间的重叠体积。

测得压坯圆锥部分的相对密度曲线随锥角的变化情况，如图5所示。从图中可以看出，不同锥角角度下的相对密度不同，存有多个波峰波谷。在锥角角度30°～60°阶段，相对密度整体呈现出波动式上升趋势，当锥角角度大于60°后，相对密度会随角度的增大持续下降，锥角角度45°与60°时，相对密度基本处于峰值附近。这是因为在压缩过程中，撞击锥形模壁后的粉体颗粒运动发生改变。

图  5  锥角角度与相对密度的变化曲线

Figure  5.  Relationship between the taper angle and relative density

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为进一步探究锥角对颗粒运动的影响，对比分析30°、45°、60°这三组锥形零件的颗粒轴向运动，其运动矢量图如图6所示。从图中可以看出，在锥角角度为30°时，颗粒在撞击圆台侧表面后，部分颗粒在向下运动的同时会沿着侧表面向中心内部运动，而部分颗粒轴向运动受阻，与上层颗粒于圆台中部汇聚，颗粒间发生碰撞挤压，在中心外侧形成旋涡状的运动轨迹，从而形成颗粒中心部分旋转状分布；当锥角角度为45°时，撞击侧表面后，部分颗粒沿侧表面继续向下运动，一部分颗粒向中心内部运动，与上层颗粒一同向中心汇聚，形成较为稳定颗粒层，同时也促使了颗粒向底部边角区域运动；当锥角角度为60°时，由于侧表面的坡度较大，颗粒沿侧表面向下的主运动明显，与中心部加载下来的颗粒于圆台底部汇聚，促进了颗粒向中心底部相对密度较低地区运动。

图  6  不同锥角下颗粒速度分布规律：（a）30°；（b）45°；（c）60°

Figure  6.  Distribution of particle velocity at different taper angles: (a) 30°; (b) 45°; (c) 60°

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1.2   模壁摩擦系数对锥角零件相对密度的影响

模壁摩擦系数是影响压坯相对密度的关键因素，探究在相同压制速度和不同摩擦系数下，相对密度与锥角角度之间的关系，结果如图7所示。不同模壁摩擦系数对颗粒的影响程度不同，摩擦系数较小时，整体相对密度会偏高，随着摩擦系数的增大，相对密度在下降的同时，对较小锥角角度的相对密度影响程度增大。从图中可以看出，锥角角度在30°～40°之间，其相对密度随着摩擦系数的改变逐渐降低，而对较大角度相对密度的影响程度较弱，当锥角大于40°后，相对密度呈现波动状态，而45°和60°基本处于相对密度的峰值附近，与规律相符。模壁摩擦系数减小，颗粒运动较为容易，有利于颗粒沿着模壁向集中区域运动，进而促进圆锥部分力链的稳定形成；模壁系数增大会导致颗粒运动受阻，阻碍致密化的进程。

图  7  不同模壁摩擦系数下相对密度与锥角角度之间的关系

Figure  7.  Relationship between relative density and taper angle at different mold wall friction coefficients

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2.   实验验证

2.1   实验材料及方法

选取200目高纯铝粉进行预压验证模拟结论的可靠性，为确保结论适用于其它材料，使用100目高纯铁粉进行压制并对比分析。由于铁粉相较于铝粉有着更高的质量密度和力学性能，可更好地验证模拟规律在其他粉末上的适用性，

使用CMT5504/5105系列电子万能试验机对粉体进行预压。保证实验压坯高径比基本保持一致，从30°至70°之间，以5°为一间隔，共分9大组，分别称取单份铝粉1.5 g（5组）和单份铁粉2.5 g（5组），对1.5 g铝粉（共45组）和2.5 g铁粉（共45组）给予90 MPa的预压处理，其中加载速度为1 MPa/s，压制时长为90 s，为减小压坯的弹性后效，每组保压30 s，每组压制总时长为120 s。压制时使用硬脂酸锌润滑，其具体模具尺寸参数如表2所示。

表  2  底模参数汇总

Table  2.  Summary of the bottom mold parameters

锥角角度 / (°)	底模总高度 / mm	底模锥角部分高度 / mm	底模上端面直径 / mm	底模下端面直径 / mm
30	8.6	3.6	14.4	1.9
35	8.6	3.6	14.4	4.1
40	8.6	3.6	14.4	5.8
45	8.6	3.6	14.4	7.2
50	8.6	3.6	14.4	8.4
55	8.6	3.6	14.4	9.4
60	8.6	3.6	14.4	10.2
65	8.6	3.6	14.4	11.0
70	8.6	3.6	14.4	11.8

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压制完成后，通过排水法和阿基米得原理测量和计算压坯密度，如式（3）～式（5）所示。考虑到预压压坯并不完全密实，表面粗糙度较大且存有细小的空隙，为防止在测量初始密度时，水进入压坯内部影响其体积数据，测量前在压坯表面均匀涂抹一层凡士林膜。

式中：m₀为试样在空气中的质量，m₁为压坯在测量液体中的质量，g为重力加速度，G_试样为压坯在空气中所受重力，F_浮为压坯在液体中所受到的浮力，ρ_液为液体密度（实验采用蒸馏水，取ρ_液 = 1 g·cm⁻³），V₀为压坯体积，x%为压坯相对密度，ρ_材料为所用压坯材料的真实宏观密度，取ρ_铁 = 7.8 g·cm⁻³，ρ_铝 = 2.7 g·cm⁻³。

2.2   结果及分析

通过测量和计算可得到不同角度下的相对密度，发现相同质量的粉末在相同压力下，整体相对密度有一定差异。预压后不同锥角压坯零件如图8所示。实验发现，锥角70°试样存在脱模难、阴模易损坏等问题，数据采集困难，故舍弃该试样。仅对30°～65°锥角下的铝粉与铁粉实验结果进行汇总处理，其中预压后相对密度与锥角之间的关系如图9所示。

图  8  不同材料不同锥角零件的部分试样图

Figure  8.  Partial samples of the different materials with the different taper angles

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图  9  预压后锥角与相对密度关系：（a）铝粉；（b）铁粉

Figure  9.  Relationship between the relative density and taper angle after pre-compression: (a) aluminum powders; (b) iron powders

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预压完成后，将两组试样相对密度与模拟结果进行对比，发现二者规律大致相似，即其整体相对密度随着锥角角度的增大呈现出波动式的先上升后下降的趋势。压坯整体相对密度不会随着锥角角度的增大呈单调式上升，锥角不同导致粉体颗粒在加载过程中的侧壁受力不同，改变颗粒运动。结合图6发现，随着锥角角度的逐渐增大，颗粒沿侧表面向下的主运动明显，与中心部加载下来的颗粒于圆台底部汇聚，促进了颗粒向中心底部的低相对密度区运动，进而使整体相对密度较高；过大的锥角使得该现象不再明显，逐渐呈现出与规则圆柱形零件相似的上高下低的相对密度分布规律。实验结果表明，在锥角角度逐渐增大的过程中，铁铝两种粉末材料的相对密度变化趋势是不同的，它表现出起伏波动的运动规律，但是从整体上看，锥角角度45°与60°总会处于相对密度波动的峰值点附近，其相较于其他锥角角度，具有更高的致密性，与模拟结果相符合，验证了模拟结论的准确性。

3.   锥形零件相对密度均匀性与锥角之间关系

为进一步探究高速冲击对锥形零件内部相对密度均匀性的影响，建立冲击压制模型并设置对应的测量球。由于底层圆锥部分体积不一，为探究相同质量的粉末颗粒致密均匀性情况，对初始孔隙率0.5、颗粒间摩擦系数0.3、模壁摩擦系数0.1的铝粉颗粒参数进行赋予，其中上层颗粒层孔隙率为0.2，赋予特定密度使其质量为1 kg，圆柱部分的半径为3.6 mm，圆锥部分高度为1.8 mm，大端面半径为3.6 mm，对圆锥小端面半径与圆柱部分的高度进行相应增减以保证每个模型生成的理论颗粒质量一致。考虑模拟效率，设定上层颗粒冲击速度为10 m/s，当其速度为0时结束，冲击模型如图10（a）所示。借助小测量球法，在锥角结构中均匀分布合适的小测量球，对锥角结构中的各区域相对密度进行追踪测量，其测量球分布如图10（b）所示。

图  10  锥形零件冲击模型（a）与测量球布置模型图（b）

Figure  10.  Impact model of taper part (a) and the model of measurement unit layout (b)

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不同锥角下，锥形零件轴向相对密度如图11所示。由图可知，在小角度阶段颗粒的运动会集中于中间区域，致使中间的相对密度较高，随着锥角角度的增大，圆锥部分整体相对密度分布表现为由外至内降低的趋势。这可能是由于锥角角度不同，使得侧壁摩擦系数发生变化，致使颗粒沿着模壁发生不规则运动，当侧壁的颗粒沿着圆锥模壁向下运动时，由于受到中间向下运动颗粒的相互挤压，使得侧边的颗粒与模壁间的摩擦系数增大，形成较致密的外层，而中心部分的相对密度分布则多呈现为上高下低的情况。

图  11  不同锥角下的轴向相对密度分布云图：（a）30°；（b）35°；（c）40°；（d）45°；（e）50°；（f）55°；（g）60°；（h）65°；（i）70°

Figure  11.  Relative density distribution clouds in axial direction at different taper angles: (a) 30°; (b) 35°; (c) 40°; (d) 45°; (e) 50°; (f) 55°; (g) 60°; (h) 65°; (i) 70°

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为了更形象的分析锥形零件相对密度分布情况，通过内部众多测量球计算相对密度标准差即其均匀度系数，观察均匀度系数与锥角角度的变化关系，结果如图12所示。相对密度均匀性随着锥角角度的增加表现为逐渐降低的趋势，在65°附近相对密度最均匀；由实验可知，高相对密度主要集中在锥角角度45°与60°附近，其均匀度系数也相对其他角度较小，但并不呈现出稳定的均匀性；45°锥角零件确实在理论上存在着高相对密度且较均匀，同时在锥角角度为60°时，锥角零件也表现出较优的致密性，在45°～60°之间均匀度系数会有所增大，可能是角度变化影响锥形内部颗粒的运动，使得相对密度密集区域有所改变。随着角度的增大，圆锥的倒角特征不再明显，因此整体逐渐趋于规则圆柱形零件的分布情况，其均匀性也有所改观。在实际工程应用中，由于对锥形零件有严格的技术要求以及生产要求，因此在考虑设定锥角零件时建议选用45°锥角，其作为优秀角度在保证高相对密度的同时，也会保有良好的均匀性，具有更好的应用意义。

图  12  锥角角度与均匀度之间的关系

Figure  12.  Relationship between the taper angle and uniformity

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4.   结论

（1）在锥形零件的模拟过程中，在保证理论相对密度一致的前提下，锥形零件相对密度在不同的锥角角度下有着不同的表现。随着锥角角度的增大，相对密度大小整体呈现出波动式上升，于45°与60°附近达到相对密度的最大值，而大于60°后，相对密度逐渐下降。主要原因可能是锥角侧壁的限制使得颗粒的运动发生改变，进而导致其致密化程度有所波动。

（2）通过对比不同模壁摩擦系数下锥角部分的致密性，发现锥形零件于锥角45°与60°附近仍具有较大的相对密度。模壁摩擦系数较小时，整体的相对密度会偏高，随着摩擦系数的增大，相对密度在下降的同时，对较小锥角角度的相对密度影响程度增大。

（3）通过实验验证铝粉与铁粉两种材料在静压状态下锥形零件的相对密度分布情况，发现锥角角度过大会引起脱模不便，从而影响粉末制品质量，且相对密度下降。不同材料的相对密度变化规律不同，但锥角角度45°与60°总会处于相对密度峰值附近，相较于其他角度，它们具有更好的致密性，证实45°与60°为锥角零件的高相对密度的优秀角度，验证了模拟的准确性。

（4）随锥角角度的变化，锥形零件相对密度呈现出不同的分布情况。锥角角度较小时，高密度部分主要集中在中心部分，锥角角度较大时，高密度部分主要集中在边侧区域。这是因为颗粒在压制过程中与侧壁发生的碰撞挤压使颗粒运动轨迹发生改变。随着锥角角度的变化，整体均匀度呈现波动式下降，于45°与65°附近相对密度均匀度较好，也表明锥角角度的增大在一定程度上有利于锥角致密均匀系数的降低，提高其均匀性，为锥角零件实际生产提供理论依据。