Accurate modeling of equal-distance spiral bevel gear and the trial production by metal powder injection molding process
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摘要:
等距螺旋锥齿轮作为一种新型锥齿轮，其螺旋齿面具有法向等距的特点，适用于金属粉末注射成型工艺批量化生产。根据坐标变换理论推导出球面渐开线和等距圆锥螺旋线的参数方程，再基于齿面形成原理建立齿面数学模型；在MATLAB中对齿面数学模型编程计算出齿面离散点坐标，并通过UG逆向工程完成等距螺旋锥齿轮的精确建模；利用ANSYS仿真分析等距螺旋锥齿轮的啮合接触，得出齿轮的传动性能；最后通过金属粉末注射成型工艺完成等距螺旋锥齿轮的试制。研究结果表明，齿面数学模型结合离散点逆向建模可确保模型的精度，金属粉末注射成型工艺可用于等距螺旋锥齿轮的批量化生产。
Abstract:As a new type of bevel gear, the equal-distance spiral bevel gear is suitable for the mass production by metal powder injection molding (MIM) due to the characteristic as the normal equal-distance of spiral tooth surface. According to the coordinate transformation theory, the parametric equations of spherical involute and equal-distance conical spiral curves were derived. The mathematical model of tooth surface was established by the formation principle of tooth surface. The mathematical model of tooth surface was programmed by MATLAB to calculate the coordinates of discrete points on tooth surface, and the accurate modeling of equal-distance spiral bevel gear was completed by reverse engineering of UG. The meshing contact of equal-distance spiral bevel gear was simulated to obtain the transmission performance in ANSYS. Finally, the trial production of equal-distance spiral bevel gear was completed base on the MIM process. In the results, the mathematical model of tooth surface combined with the inverse modeling of discrete points can ensure the accuracy of 3D model, and MIM process can be used to produce the equal-distance spiral bevel gears for mass production.
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螺旋锥齿轮主要用于传递两相交轴或交错轴之间的运动和动力，具有重合度大、承载能力强、传动平稳、噪声低等优点，被广泛应用于机械传动领域[1−2]。螺旋锥齿轮齿面为空间曲面，齿面接触为局部点接触，三维模型比较复杂，齿轮建模精度难以保证。对于螺旋锥齿轮的研究主要集中在圆弧齿锥齿轮、长幅外摆线锥齿轮和对数螺旋锥齿轮[3−5]，其中圆弧齿锥齿轮和长幅外摆线锥齿轮的齿向线分别是圆弧线和摆线，理论上都不属于圆锥螺旋线，对数螺旋锥齿轮齿向线采用的对数螺旋线是圆锥螺旋线。在采用模具成型螺旋锥齿轮传动中的小轮（小锥角齿轮）时，难以实现旋转脱模，需要在5轴联动加工中心或专用机床上进行机加工生产，这使得生产成本高且制造周期长[6−8]。除此之外，对于小模数螺旋锥齿轮的生产加工，目前国内提出小轮采用双面法铣齿加工，大轮采用模具法成型加工（注：这种模具成型仅是一种近似齿形，适用于要求不高的传动类型），但仅大轮实现了批量化生产，小轮仍需成本较高的机加工生产[9−10]。金属粉末注射成型（metal injection molding，MIM）是一种新的金属零部件制备技术，它是将塑料注射成型技术引入到粉末冶金领域而形成的一种全新的零部件加工技术，适用于生产小型、三维形状复杂以及具有特殊性能要求的近净成型工艺零部件[11−13]。
本文研究并设计出一对等距螺旋锥齿轮，两个齿轮均适用于金属粉末注射成型工艺，特别是小锥角齿轮，并首次通过金属粉末注射成型工艺实现批量化生产。等距螺旋锥齿轮的轮齿齿廓线采用球面渐开线，齿向线采用等距圆锥螺旋线，利用坐标变换推导出齿面数学模型，在MATLAB中编程计算出齿面离散点坐标并导入UG完成齿轮的三维建模[14−18]，保证了等距螺旋锥齿轮的模型精度。在此基础上，通过ANSYS研究等距螺旋锥齿轮的啮合传动性能，最后选用合适的金属粉末注射成型工艺试制出小锥角等距螺旋锥齿轮，验证了模型的准确性以及金属粉末注射成型工艺用于小锥角螺旋锥齿轮的可行性，实现了螺旋锥齿轮的批量化生产。
1. 等距螺旋锥齿轮设计参数选择
根据实际使用情况和齿轮的特性，同时参考格里森弧齿锥齿轮的相关参数，并查阅相关文献[19]，设计了一对小模数等距螺旋锥齿轮，相关几何参数如表1所示。
表 1 等距螺旋锥齿轮设计参数Table 1. Design parameters of the equal-distance spiral bevel gear名称 旋向 齿数, N 轴交角, Σ / (o) 节锥角, δ / (o) 模数, m / mm 中点螺旋角, β / (o) 齿宽, b / mm 压力角, α / (o) 小轮 左 16 90 34.824 0.905 30 5 20 大轮 右 23 90 55.176 0.905 30 5 20 2. 等距螺旋锥齿轮齿面数学建模
2.1 球面渐开线
等距螺旋锥齿轮采用球面渐开线作为齿廓线，其形成过程如图1所示，其中，t为圆平面Q与基圆锥K纯滚动的转角，ψ为直线OB与瞬时回转轴OC之间的夹角。圆平面Q与基圆锥K相切并绕其作纯滚动，在运动过程中圆平面Q上一点B形成一条空间曲线
$ \wideparen {AB} $ ，则$ \wideparen {AB} $ 为球面渐开线[20]。圆平面Q与基圆锥K（锥角，δb）相切于直线OC，以圆锥轴线OO′为Z轴建立右手坐标系(O−XYZ)，其与圆锥固连；又以瞬时回转轴OC为Z′轴建立右手坐标系(O−X′Y′Z′)，其与圆平面Q固连。保持基圆锥K静止不动，圆平面Q作纯滚动，此时坐标系(O−X′Y′Z′)为动坐标系。将坐标系(O−X′Y′Z′)变换成坐标系(O−XYZ)，其坐标变换矩阵（M）如式（1）所示。
$$ {\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin t}&{\cos {\delta _{\text{b}}}\cos t}&{\sin {\delta _{\text{b}}}\cos t} \\ { - \cos t}&{\cos {\delta _{\text{b}}}\sin t}&{\sin {\delta _b}\sin t} \\ 0&{ - \sin {\delta _{\text{b}}}}&{\cos {\delta _{\text{b}}}} \end{array}} \right] $$ (1) 式中：t为圆平面Q的转角，δb为基圆锥K的锥角。
设圆平面Q半径为l，根据图1中球面渐开线的形成原理，l也为球面渐开线在基圆锥K上起点的锥距，则在动坐标系(O−X′Y′Z′)中，圆平面Q滚动到任一位置时B点的坐标(X′, Y′, Z′)如式（2）所示。
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {X' = l\sin \psi } \\ {Y' = 0 } \\ {Z' = l\cos \psi } \end{array}} \right. $$ (2) 式中：ψ为OB与瞬时回转轴OC之间的夹角（变量），ψ=tsinδb。
利用坐标变换矩阵M将B点坐标变换到坐标系(O−XYZ)中，如式（3）所示。其中(X, Y, Z)为
$ \wideparen{AB} $ 上任一点坐标，即球面渐开线上任一点，则球面渐开线参数方程可用式（4）表示。$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} X \\ Y \\ Z \end{array}} \right) = {\boldsymbol{M}} \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {X'} \\ {Y'} \\ {Z'} \end{array}} \right) $$ (3) $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {X = l(\sin {\delta _{\text{b}}}\cos \psi \cos t + \sin \psi \sin t)} \\ {Y = l(\sin {\delta _{\text{b}}}\cos \psi \sin t - \sin \psi \cos t)} \\ {Z = l\cos {\delta _{\text{b}}}\cos \psi } \end{array}} \right. $$ (4) 式中：l为球面渐开线起点的锥距。
2.2 等距圆锥螺旋线
2.2.1 等距圆锥螺旋线方程
分运动一为沿水平面的阿基米德螺线匀速运动，分运动二为沿垂直于该水平面的方向匀速运动，则二者合运动的运动路线就是等距圆锥螺旋线（简称等距螺旋线）[21−22]，本研究将其作为轮齿齿向线。如图2所示，建立直角坐标系(o−xyz)，其中分度圆锥的锥角为δ，等距导程为p。
分运动阿基米德螺线的转角为φ，即等距螺旋线绕z轴旋转的角度。分运动阿基米德螺线从坐标原点出发，φ=0时的极径为0，建立等距螺旋线方程，如式（5）和式（6）所示。
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\varphi \cos \varphi } \\ {y = k\varphi \sin \varphi } \\ {\textit{z} = k\varphi \cot \delta } \end{array}} \right. $$ (5) $$ p\sin\delta =2\text{π}k $$ (6) 联立式（5）和式（6），求得等距螺旋线方程，如式（7）所示。
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \dfrac{p}{{2{\text{π }}}}\varphi \sin \delta \cos \varphi } \\ {y = \dfrac{p}{{2{\text{π }}}}\varphi \sin \delta \sin \varphi } \\ {\textit{z} = \dfrac{p}{{2{\text{π }}}}\varphi \cos \delta } \end{array}} \right. $$ (7) 2.2.2 等距导程的求解
由于等距导程p是未知的，因此需要根据表1中等距螺旋锥齿轮的设计参数进行求解。设轮齿齿向线中点为n，则n点螺旋角βn=30°，n点处向量如式（8）所示。
$$ \overrightarrow {on} = (x,y,\textit{z}) $$ (8) 通过式（7）求得等距螺旋线在n点处的切线（矢量），如式（9）所示。
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\vec \tau = (\dot x,\dot y,\dot {\textit{z}}) } \\ {\dot x = \dfrac{p}{{2{\text{π }}}}\sin \delta (\cos \varphi - \varphi \sin \varphi )} \\ {\dot y = \dfrac{p}{{2{\text{π }}}}\sin \delta (\sin \varphi + \varphi \cos \varphi )} \\ {\dot {\textit{z}} = \dfrac{p}{{2{\text{π }}}}\cos \delta } \end{array}} \right. $$ (9) 由βn=30°，可以得出式（10）；在n点处得出式（11）和式（12）。
$$ \angle (\overrightarrow {on} ,\overrightarrow \tau ) = \arccos \frac{{\overrightarrow {on} \times \overrightarrow \tau }}{{\left| {\overrightarrow {on} } \right| \times \left| {\overrightarrow \tau } \right|}} = {\text{3}}{{\text{0}}^{\text{o}}} $$ (10) $$ \frac{p}{{2{\text{π }}}}\varphi \cos \delta = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{2}\cos \delta $$ (11) $$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{R_1} = \dfrac{{mN}}{{2\sin \delta }}} \\ {{R_2}{\text{ = }}{R_1} - b } \end{array}} \right. $$ (12) 式中：R1为齿轮的外锥距，R2为内锥距。
联立式（7）～式（12），利用MATLAB编程计算，可以求出等距导程p。根据表1设计参数可以求得小轮、大轮的等距导程分别为p1=63.26 mm、p2=90.93 mm。
2.3 齿面数学模型的建立
由于等距螺旋线上任一点处齿面的截线为球面渐开线，那么可以用多条分布在等距螺旋线上的球面渐开线来表示轮齿齿面，如图3所示，其中以锥顶为原点o，圆锥轴线为z′轴建立右手坐标系(o−x′y′z′)，其与圆锥固连，为定坐标系；再建立动坐标系(o−x1y1z1)，初始时与坐标系(o−x′y′z′)重合，起点锥距为rb的球面渐开线与其固连，将动坐标系(o−x1y1z1)绕z1轴旋转角度φ（球面渐开线跟着一起绕z1轴旋转φ角）。所以只需求出分布在等距螺旋线上的任意一条球面渐开线的参数方程，也就是求出等距螺旋线上任一点的齿面截线方程，即可得出齿面方程。
通过调整球面渐开线起点锥距l或将球面渐开线沿着等距螺旋线绕z1轴旋转角度φ，可确定多条不同的齿廓线。从轮齿大端到小端，分布在齿面螺旋线上任一点处的球面渐开线不仅由不断变化的球面渐开线起点锥距l确定，而且也由不断变化的等距螺旋线转角φ确定。等距螺旋线上任一点到原点o的距离rb=(x2+y2+z2)1/2，联立式（5）可求得rb=pφ/2π，将rb作为球面渐开线的起点锥距，即l=rb。此时坐标系(o−x1y1z1)变换成坐标系(o−x′y′z′)，其坐标变换矩阵（M′）如式（13）所示。
$$ {\boldsymbol{M'}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{ - \sin \varphi }&0 \\ {\sin \varphi }&{\cos \varphi }&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right) $$ (13) 在动坐标系(o−x1y1z1)中，球面渐开线与其固连，参数方程如式（14）所示。
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{y_1}} \\ {{{\textit{z}}_1}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{p}{{{{2\text{π } }}}}\varphi (\sin {\delta _{\text{b}}}\cos \psi \cos t + \sin t\sin \psi )} \\ {\dfrac{p}{{{{2\text{π } }}}}\varphi (\sin {\delta _{\text{b}}}\sin t\cos \psi - \cos t\sin \psi )} \\ {\dfrac{p}{{{{2\text{π } }}}}\varphi \cos {\delta _{\text{b}}}\cos \psi } \end{array}} \right) $$ (14) 根据坐标变换矩阵，可以求得绕z1轴旋转φ角后分布在等距螺旋线上任一点处的球面渐开线参数方程，即等距螺旋锥齿轮的齿面方程（式（15））。
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {x'} \\ {y'} \\ {{\textit{z}}'} \end{array}} \right) = {\boldsymbol{M}}' \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{y_1}} \\ {{{\textit{z}}_1}} \end{array}} \right) $$ (15) 3. 等距螺旋锥齿轮的精确建模
3.1 MATLAB求解齿面离散点
由于等距螺旋锥齿轮的齿面是空间螺旋曲面，利用三维软件UG建模时难以保证精度，所以本文利用建立好的齿面方程，在MATLAB中编制程序，设定合适的步长进行计算，求解得出齿面的离散点坐标，程序中步长越小齿面建模越精确。运算程序得到如图4所示的齿面。利用dlmwrite函数，将离散点坐标数据以UG可以识别的txt格式保存。
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图 4 等距螺旋锥齿轮齿面模型（单位：mm）Figure 4. Tooth surface mode of the equal-distance spiral bevel gear (unit: mm)3.2 齿轮三维建模
在UG中导入以txt格式保存的齿面离散点坐标，如图5所示。利用拟合曲面工具将离散点拟合成光滑的曲面，得到一组齿面，如图6所示。接着建立轮齿的顶锥面、根锥面、前锥面和背锥面，再通过修剪、缝合等命令得到等距螺旋锥齿轮的单个轮齿，如图7所示。等距螺旋锥齿轮的单个轮齿建模完成后，可对齿根过渡部分进行变半径倒圆角优化处理，随之对单齿进行圆周阵列，可以得到等距螺旋锥齿轮的精确模型，如图8所示。
4. 动态啮合仿真分析
4.1 有限元模型的建立
通过ANSYS Workbench仿真分析等距螺旋锥齿轮的啮合过程，得出传动时齿面接触区、转速及传递误差，以判断齿轮是否满足实际传动要求。对等距螺旋锥齿轮的啮合接触进行有限元分析时，精确的有限元模型关系着收敛速度及求解精度。
有限元模型的建立过程如下：（1）划分网格，由于轮齿几何形状较复杂，因此利用Hypermesh划分齿轮的三维模型，齿轮网格模型如图9所示。网格模型选用计算量较小、收敛速度快且变形量较小的六面体网格，另选择带有中间节点的实体缩减积分单元Solid186作为网格单元。（2）材料属性，为确保仿真结果的真实性，材料属性的赋予选择后续金属粉末注射成型成型实验的Fe8Ni材料，具体属性如表2所示。（3）边界条件和工况，本文研究的金属粉末注射成型等距螺旋锥齿轮主要用于小型传动装置，根据实际使用工况，给予小轮3000 r/min的恒定转速，而对大轮则施加15 N·M的负载，分析等距螺旋锥齿轮在负载时的接触性能。
表 2 Fe8Ni材料属性Table 2. Material properties of Fe8Ni材料 密度 / (kg·m−3) 弹性模量 / GPa 泊松比 Fe8Ni 7600 190 0.28 4.2 仿真结果分析
4.2.1 齿面接触区
基于ANSYS Workbench的后处理提取传动时的齿面接触区，以研究等距螺旋锥齿轮啮合传动时的齿面接触情况，接触区如图10所示。等距螺旋锥齿轮为点接触形式，基于赫兹接触理论可得出齿面理论接触区应为椭圆形，而图10中显示啮合传动时齿面接触区为近似椭圆形，且在齿面中部附近。这说明等距螺旋锥齿轮传动时满足齿面接触区要求，接触状况较好。
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图 10 齿面接触区等效应力仿真模拟Figure 10. Equivalent stress simulation of the tooth surface in contact area4.2.2 转速和传递误差
根据传动比可计算得出从动轮的理想（理论）转速为218.55 rad/s。基于ANSYS Workbench的后处理probe，得出等距螺旋锥齿轮从动轮在传动时的实际转速（主动轮转速没有波动为一固定值，故不作研究），结果如图11所示。从动轮的实际转速在理想转速附近波动，且具有相似的变化规律，这说明等距螺旋锥齿轮实际传动较为稳定。
齿轮传动时真实传动与理论传动存在偏差，称之为传递误差，传递误差的大小可以作为齿轮传动稳定性的指标。在齿轮啮合传动过程中，从动轮实际转角与理论转角的差值为传递误差值，根据图11可求得等距螺旋锥齿轮啮合传动时的传递误差，结果如图12所示。由图可知，等距螺旋锥齿轮传动时的传递误差在理想传递误差0 rad附近波动，呈现一定的规律，并且传递误差小于4×10−4 rad，这表明了等距螺旋锥齿轮动态啮合性能较好，传动稳定且传递效率高。
5. 金属粉末注射成型工艺成型试制
金属粉末注射成型能像生产塑料制品一样，可一次成型生产形状复杂的金属零部件，其主要工艺流程如图13所示，包含了金属粉末喂料制备、制件注射成型、脱脂、烧结等工艺。
5.1 金属粉末及黏结剂的选取
金属粉末注射成型工艺所选用的金属颗粒尺寸一般在0.5～20.0 μm之间，且中位径在4.0～8.0 μm之间。本文选用Fe8Ni合金粉末，粉末平均粒径和振实密度分别为3.95 μm和4.35 g·cm−3。对于金属粉末注射成型喂料，金属粉末与黏结剂的比例在很大程度上决定了后续工艺的质量[23]，粉末体积分数（ϕ）可按式（16）计算。
$$ \phi = \frac{{{W_{\text{P}}}/{\rho _{\text{P}}}}}{{{W_{\text{P}}}/{\rho _{\text{P}}} + {W_{\text{B}}}/{\rho _{\text{B}}}}} $$ (16) 式中：WP和WB分别是粉末和黏结剂的质量；ρP和ρB分别是粉末和黏结剂的密度。根据式（16）可以求得当粉末体积分数为60%时，对于获得质量高、性能优异的产品有利。
在金属粉末注射成型工艺中，聚甲醛（POM）加热时可以迅速软化，降温时又可很快硬化，且性质不发生变化，所以选用聚甲醛作为黏结剂。除此之外，选用高密度聚乙烯（HDPE）作为骨架结构，以维持脱脂时坯件的形状；选用硬脂酸（SA）作为表面活性剂来促进喂料在注射时的流动性。最终选定黏结剂各组元体积分数为90%POM+6%HDPE+4%SA。
5.2 混炼、制粒
聚甲醛材料极易分解，其热分解温度为280 ℃，而聚乙烯的熔点温度为130 ℃，所以选用的混炼温度为175～185 ℃。本文采用型号为M-H-10L-DCSS-H的单螺杆混炼造粒一体机，旋转速度和时间设定为30 r·min−1和30 min。粒状喂料如图14所示。
5.3 注射成型、脱脂及烧结
基于等距螺旋锥齿轮的三维模型，在五轴联动加工中心完成齿轮的电极加工，并在精密火花机上完成对应型腔的放电，如图15所示。接着设计模具，在注射机上注射成型等距螺旋锥齿轮生坯（采用Fe8Ni材料），此时注射温度、压力、速度分别设定为190 ℃、50 MPa、50 mm·s−1。以HNO3气氛为脱脂催化剂，将脱脂坯至于脱脂炉中，设定温度120 ℃使生坯发生催化脱脂，随后温度设定为600 ℃并保温120 min以脱除黏结剂中的聚乙烯和硬脂酸。随后将脱脂完的齿轮置于真空烧结炉中进行烧结，烧结气氛选择N2+Ar，烧结温度设定为1260 ℃。最后得到如图16所示的金属粉末注射成型等距螺旋锥齿轮。
相对于塑料制品，金属粉末注射成型制品的硬度高、塑性差，如果脱模时存在干涉，则无法顺利脱模。该脱模实验中金属粉末注射成型齿轮可以顺利旋转脱模，这验证了等距螺旋锥齿轮建模的准确性以及金属粉末注射成型工艺用于螺旋锥齿轮生产的可行性。
6. 结论
（1）根据齿面数学模型在MATLAB中编程得出齿面离散点数据，再基于UG逆向工程可完成等距螺旋锥齿轮的精确建模，这有效保证了模型的精度。
（2）等距螺旋锥齿轮啮合传动时，齿面接触区为近似椭圆形，且分布在齿面中部附近，从动轮转速与传递误差的波动呈现规律性，并且传递误差小于4×10−4 rad，验证了等距螺旋锥齿轮传动稳定且传递效率高，啮合性能较好。
（3）首次采用金属粉末注射成型工艺完成等距螺旋锥齿轮的试制，验证了齿轮设计、建模的准确性以及金属粉末注射成型工艺实际生产等距螺旋锥齿轮是可行的，实现了小锥角螺旋锥齿轮的批量化生产，显著降低了生产成本和制造周期。
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图 4 等距螺旋锥齿轮齿面模型（单位：mm）
Figure 4. Tooth surface mode of the equal-distance spiral bevel gear (unit: mm)
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图 10 齿面接触区等效应力仿真模拟
Figure 10. Equivalent stress simulation of the tooth surface in contact area
表 1 等距螺旋锥齿轮设计参数
Table 1 Design parameters of the equal-distance spiral bevel gear
名称 旋向 齿数, N 轴交角, Σ / (o) 节锥角, δ / (o) 模数, m / mm 中点螺旋角, β / (o) 齿宽, b / mm 压力角, α / (o) 小轮 左 16 90 34.824 0.905 30 5 20 大轮 右 23 90 55.176 0.905 30 5 20 
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表 2 Fe8Ni材料属性
Table 2 Material properties of Fe8Ni
材料 密度 / (kg·m−3) 弹性模量 / GPa 泊松比 Fe8Ni 7600 190 0.28
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